Ein paar Grafiken zur Zeta-Funktion

 

Mein Augenmerk liegt hier nicht an irgendwelchen Beweisen oder mathematischen Gedankenexperimenten, es soll nur die Mächtigkeit der heutigen Computersysteme gezeigt werden. Die Grafiken sind allesamt in Python entstanden. Die mathematischen Formeln sind aus Wikipedia kopiert.

Kurz zur Definition der Zetafunktion:

Diese Reihe oder das zugehörige Eulerprodukt ist wohlbekannt für s in den reellen Zahlen. Wir erweitern die Definition jedoch auf die komplexen Zahlen. 

Anmerkung: In Studentenzeiten hat sich nun bei mir ein gewisses Unwohlsein eingeschlichen, da das Rechnen mit komplexen Zahlen nicht mehr so einfach ist. Potenzieren mit einer komplexen Zahl? Gottseidenk gibt es aber Computer, die diese Aufgabe heutzutage erledigen. 

Der Einfachheit halber starten wir mit dem Beispiel (s=2) und schauen wie schnell das sogenannte Baselproblem konvergiert. Hierzu verwenden wir die Produktdarstellung über die Primzahlen von oben.

Beeindruckend nicht wahr? - Nach 50 Iterationen sind wir nur noch -0.00109 von der tatsächlichen Lösung πi^2 / 6 entfernt.

Im nächsten Schritt ersetzen wir die reelle Zahl s durch eine komplexe Zahl, halten den Realteil von s fest und erzeugen den Funktionswert für alle möglichen Werte im komplexen Teil von s.

Also ersetzen wir nun s durch 1/5 + t*i und iterieren über t. Dann kommt die nachfolgende Grafik dabei raus. Bemerkenswert ist hier, dass es keine nichttrivialen Nullstellen gibt. Beachte den Punkt (0,0).

Ersetzen wir nun s durch 1/2 + t*i und iterieren über t. Dann kommt die nachfolgende Grafik dabei raus. Bemerkenswert ist hier, dass es nichttrivialen Nullstellen gibt. Beachte den Punkt (0,0).

Das ist übrigens der einzige Fall, bei dem es solche Lösungen gibt (ernsthaft!) und außerdem eines der berühmtesten, wenn nicht das berühmteste ungelöste Problem der Mathematik - die sogenannte Riemannsche Vermutung

Vielleicht später mehr...

 

Quellen:

Wikipedia - Riemann hypothesis

The holy grail of mathematics: animated visualization of the Riemann Zeta zeros


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